Задачи этого раздела имеют решения и ответы, но не торопитесь в них заглядывать, попробуйте решить их сами, ведь знания, добытые самостоятельно приносят наибольшую пользу и радость познания. После самостоятельного решения можно проверить себя, воспользовавшись нашими подсказками и ответами. После успешной работы с задачами, где предусмотрены решения и ответы, можно переходить в Центр самостоятельных решений.
Рассмотрим примеры решения задач
Задача 1. Докажите, что разность между любым натуральным числом и суммой его цифр кратна 9 (следовательно, и 3).
Доказательство.
Возьмем для примера некоторое четырехзначное число
(abcd) ̅=1000a + 100b + 10c + d и вычтем из его сумму его цифр, получим
(abcd) ̅– (a + b + c + d) = 1000a + 100b + 10c + d – a – b – c – d =
= (1000a – a) +(100b – b) + (10c – c) +(d – d)= 999a + 99b +9c = 9(111a +11b +c) – это число делится на 9, а следовательно и на 3. Аналогично можно доказать утверждение для любого натурального число.
Задача 2. Трехзначное число начинается с цифры 7. Из него получили другое трехзначное число, переставив эту цифру в конец числа. Полученное число оказалось на 117 меньше предыдущего. Какое трехзначное число было задумано?
Решение.
Пусть х – цифра десятков числа, а у – цифра единиц, тогда представим задуманное число в виде суммы разрядных слагаемых: 700+10х+у, переставив цифру 7 в конец числа, получим сумму разрядных слагаемых нового числа 100х+10у+7. Так как полученное число оказалось на 117 меньше предыдущего, то
700+10х+у= 117+ (100х+10у+7), решим получившееся уравнение.
700+10х+у = 117+ 100х+10у+7,вычтем из обеих частей равенства 10х и у
700 + 10х – 10х +у – у = (117+7) + (100х – 10х) +(10у – у), получим
700 = 124 + 90х +9у, отсюда
700 – 124 =90х +9у
576 = 9(10х +у), тогда неизвестный множитель
10х +у = 576 : 9,
10х +у = 64 = 6 ∙10 + 4, т. е. х = 6,у = 4, а задуманное число 764
Ответ: 764
Задача 3. Найдите наименьшее натуральное число, большее 1 , которое при делении на 2,на 3, на 4, на 5,на 6, на 7,на 8,на 9, дает остатки равные 1.
Решение.
Найдем НОК (2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9) = 2∙2∙2∙3∙3∙5∙7 = 2520, таким образом 2520 – наименьшее натуральное число, которое делится на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9. Если к нему прибавить 1, то полученное число 2521, при делении на 2, на 3, на 4, на 5, на 6, на 7, на 8, на 9, даст остатки равные 1.
Ответ: 2521.
Комментариев нет:
Отправить комментарий